Zlati rez

Zlati rez ni le cifra; je najodličnejši predstavnik členitve. Predstavlja konstantno spremembo kot nasprotje strukturi, ki jo gradi konstantni člen, enota. Vsak novi člen je za faktor φ večji ali manjši, nikakor pa ne more biti enak. Govorimo o sorazmerju (proportio) za razliko od razmerja (ratio). Kaže se skozi nespremenljivost karakterističnega odnosa, predstavlja pa enotnost mere, materiala in duha. Torej presega golo matematično igro in ga lahko v celoti dojamemo le intuitivno.

Zagrebški profesor Vjenceslav Richter je zastavil dobro vprašanje: »Zakaj ima krog 360 stopinj, ko pa po geometrijski poti ne morem narisati kota 1 stopinje.« Če krog razdelim na pol, dobim 180°, ob drugi delitvi 90°, ob tretji 45°. Naprej ne morem več z razpolavljanjem, ker bi dobil decimalne vrednosti. Torej bi moral 45° deliti na tri dele, kar pa po geometrijski poti ni rešljivo. Trčil sem ob problem trisekcije kota.

Vprašanje je res skrajno provokativno, še bolj pa je provokativna predlagana rešitev. Profesor namreč predlaga, da naj bi po novem polni kot meril 512 stopinj. Če namreč krog devetkrat razpolovimo, dobimo na koncu kot 1 Richterjeve ločne stopinje. Sliši se res inteligentno in zakaj potem polni krog ne meri 512 stopinj. Razlog ni geometrijski, ne izvira iz Grčije ali Egipta, temveč iz arabskega sveta. Število 360 je namreč drugo število med 1 in 1000 po številu deljiteljev. Boljše je le še število 720, ki je deljivo z vsemi števili števila 360 in še s številom 360 samim. Torej se z njim zelo lepo računa, ker le redko dobimo decimalne vrednosti. Kotne mere so tudi edine mere, ki so matematično natančno definirane. Tako nas je profesor Vjenceslav Richter pripravil, da smo se vprašali po nečem, kar je navidez tako očitno, da se tega nikoli ne vprašamo in zato tudi ne vemo.

Podobno je tudi z zlatim rezom. Opazil sem, da niti ljudje, ki naj bi po svoji poklicni izobrazbi natanko poznali problem, niti približno ne vedo, za kaj sploh gre. Tisti, ki nekaj le vejo, pa poznajo le vrednost 1,6. Toda to je le cifra, do popolnosti okleščeno bogastvo zakonitosti, ki se skrivajo za pojmom »zlatega reza«. Poleg tega se je prav nasprotno, kot v prej omenjenem primeru kotne stopinje, vsa zgodba začela z geometrijskimi igrami in ne z aritmetiko.

Da bo vse skupaj še bolj jasno in tudi kakšen dvom ali zabloda manj, bom zlati rez primerjal s korenom iz 2. Zato, ker ljudje zlati rez in √2 pogosto zamenjajo.

Najprej bi morda nalogo postavil takole. Iščem pravokotnik, ki mu odrežem največji možni kvadrat, to je tisti, ki leži ob pravokotnikovi krajši stranici in ima z njim to stranico skupno, kar pa ostane, pa je, matematično povedano, podoben pravokotnik. To je takšen, ki ima enaka razmerja med stanicami. Izkaže se, da je to možno le v pravokotniku s stranicami v razmerju zlatega reza, torej v zlatem pravokotniku.

Druga naloga. Iščem pravokotnik, ki ga razpolovim pravokotno na daljšo smer, in kar ostane, je spet, matematično rečeno, podoben pravokotnik. Tej zahtevi ustreza pravokotnik z razmerjem stranic 1 proti diagonali kvadrata s stranico 1, torej z razmerjem stranic 1 : √2.

Očitno je, da sta nalogi zastavljeni bistveno drugače. V prvem primeru gre za popolno ponavljanje razmerja (različnosti, ne enote), torej za sorazmerje, proportio oziroma αναλογία. V drugem primeru pa gre za stalni člen. Prvo imenujemo členitev, drugo pa struktura. Prvo drži skupaj sorazmerje, to je konstantna sprememba oziroma modul spremembe, drugo pa lahko prevedemo na enoto mere, torej na modul mere.

Nalogi lahko tudi obrnem. Najprej vzamem za osnovo kvadrat in mu ob eno stranico dodam popolnoma enek (to je skladen) kvadrat. Dobim pravokotnik 1 : 2. Sedaj ob daljšo stranico postavim kvadrat z enako dolžino 2. Sestavil sem pravokotnik razmerja 2 : 3. Ponovim postopek še nekajkrat in dobim pravokotnike z razmerjerm stranic 3 : 5, 5 : 8, 8 : 13, 13 : 21, 21 : 34, 34 : 55, 55 : 89, … Dobil sem zaporedje števil 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … z lastnostjo an = an-1 + an-2. Imenujemo ga Fibonaccijevo zaporedje. Njegova lastnost pa je, da zaporedje zdeljencev (kvocientov) sosednjih števil limitira k vrednosti zlatega reza, ki jo imenujemo φ, to je nekaj podobnega na samem začetku tega pisanja omenjeni cifri. Izkaže se tudi, da za sam začetek lahko vzamem kakršen koli pravokotnik, torej ni pogoj kvadrat, ki mu ob daljšo stranico postavim kvadrat in po znanem postopku naprej, pa bo zakonitost še vedno držala. Le operacojo bom moral ponoviti večkrat, da bom z razultatom zadovoljen (več začetnih parov bo neuporabnih).

Drugič dodam pravokotniku ob daljšo stranico popolnoma enak (skladen) pravokotnik tako, da bosta imela to stranico skupno, in novi pravokotnik bo imel enako razmerje stranic, kakor pravokotnika, ki ga sestavljata.

V prvi nalogi gre torej za neskončno členitev, ko dva sosednja člena nista nikoli enaka, v drugem primeru pa bi lahko dokazal, da stalno ponavljam en sam člen, torej enoto.

Do sedaj sem govoril o zlatem rezu in √2, kakor da nimata prav nič skupnega. Toda izkaže se, da nista tako huda tujca. Vzamem pravokotnik razmerja stranic 1 : √2, mu po že znani metodi (uporabil sem jo pri zlatem rezu, ne √2) odrežem navečji možni kvadrat in pogledam, kaj mi ostane. Dobljeni pravokotnik so v zgodovini imenovali θ. Ima pa posebno lastnost. Njegova diagonala namreč oklepa z daljšo stranico kot 22,5°, kar je ravno polovica od 45°. Kdor misli, da ima opazovani pravokotnik razmerje stranic 1 : 2, se zelo moti in naj raje pametno molči. Gre namreč za razmerje 1 : (1+√2). Arhitekti bi ga morali poznati iz vaj pri »zgodovini arhitekture 1«, ko so risali pročelje klasičnega templja. Diagonala ležečega pravokotnika θ namreč predstavlja naklon stehe, oziroma v tak pravokotnik lahko včrtamo polovico timpanona.

Sedaj pa moram povedati, kaj ima ta pravokotnik skupnega z zlatim rezom. Skupen je postopek neskoknčne delitve, le da je sámo pravilo malo drugačno. Pravokotniku θ odrežem največji dvojni kvadrat, to je pravokotnik z razmerjem stranic 1 : 2, in kar dobim, je spet θ. Delitev je, podobno kot pri zlatem rezu, neskončna. Pa lahko nalogo tudi obrnem. Ob dvojni kvadrat dodam dvojni kvadrat, kot to kaže slika. Dobim pravokotnik 2 : 5. Ponovim postopek in dobim 5 : 12, 12 : 29, … Pravilo je an = 2an-1 + an-2. Zaporedje imenujemo Pellovo in velja, da zdeljenci sosednjih členov limitirajo k razmerju 1 : (1+√2). Pravilo velja za poljubni začetni pravokotnik, ne le za dvojni kvadrat; v tem primeru je le primer najbolj nazoren.

Najbolj splošna definicija zlatega reza pravi, da je to odnos med stranico desetkotnika in polmerom temu desetkotniku očrtanega kroga. Če narišem tako imenovani zlati pravokotnik, velja, da ko je stranica kvadrata enaka omenjenu polmeru, je krajša stranica novega zlatega pravokotnika enaka stranici desetkotnika, njegova diagonala pa starnici petkotnika. Če je premer 1, potem je stranica desetkotnika enaka obratni vrdenosti φ (1/φ).

O čem pravzaprav govorim. O dveh popolnoma različnih principih; o členitvi in strukturi ter o razliki, ki se skriva za tema dvema pojmoma. Pri členitvi je edina konstanta sprememba oziroma sorazmerje, o čemer piše knjiga z največjo naklado v zgodovini človeštva Yijing. Členitev oziroma sorazmerje je enakost vsaj dveh razmerij (Ευκλειδης), enakost vsaj dveh primerjav. “Ne moremo dobro primerjati dveh stvari brez tretje in med njimi potrebujemo povezavo, ki jih druži. (Πλάτων: Τίμαιος). Pomeni, da tako kot sta si različna 1. in 2. člen, sta si različna tudi 2. in 3. člen. To skupno razmerje imenujemo sorazmerje; pravimo, da je razmerje element sorazmerja. Nespremenljivost karakterističnega odnosa je očitna. Pri zlatem rezu velja poleg konstantne stpremembe še, da je tretji člen vsota prejšnjih dveh; a : b = b : (a + b) (glej Fibonaccijevo zaporedje).

Pri strukturi pa je poglavitna enota, ki se ponavlja. Torej govorim o ritmu, ritem pa je temeljna človekova izkušnja urejenega toka gibanja; ritem je za čas to, kar je simetrija za prostor. Gre predvsem za primerjavo merljivih količin; količine pa merimo z enotami. Pri strukturi lahko posamezne člene odvzemam in dodajam, ne da bi s tem spremenil ritmični karakter, ki temelji na ponavljaju. V primeru √2 velja še dodatna zakonitost, ki pravi da je vsak drugi nasledjni člen dvakratnik določenega člena (an+2 = 2an; 1, √2, 2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2, …). S tem mislim že prej omenjeno podvajanje oziroma ponavljanje.

Zakaj pa matematične igre obravnavam na simpoziju o likovni teoriji? Likovnost išče realnost za tistim, kar lahko vidim. Tudi znanost išče univerzalno resnico, ki je za tistim, kar lahko zaznam s čutili.

Kaj to pomeni za kompozicijo. Dovolil si bom nekoliko svobodno interpretacijo definicij Vasilija Kandinskega iz knjige Punkt und Linie zu Fläche. V prvi definiciji pravi: »Elemnt v kompoziciji definiramo iz treh vidikov: 1. element sam na sebi, 2. element do drugih elementov in 3. element do celote.« To pomeni naslednje: vsak format v sliksrtvu, blok v kiparstvu ali gabarit v arhitekturi vsebuje določeno sorazmerje. Načeloma velja, de če želimo ustvariti dobro kompozicijo, moramo spoštovati to sorazmerje pri odnosih med elementi in pri oblikovanju elemntov samih. V bistvu isto pravi tudi Kandinski v drugi definiciji: »Kompozicija je notranje smotrno podrejanje 1. posameznih elementov in 2. zgradbe (konstrukcije) konkretnemu prostorskemu cilju.« Z zgradbo pa v likovnem smislu med drugim oziroma razumem predvsem sorazmerje. In sedaj že omenja »parafraza«: V resnici ne materializirajo vsebine likovne stvaritve zunanje forme, temveč med temi oblikami živeče sile = napetosti; njih pa ustvarjajo predvsem sorazmerja.

Piet Mondrian je komponiral svoje slike po občutku. Če pogledam katero njegovih nedokončanih sik, vidim, kako je s poskusi določal količinske odnose oziroma položaje posameznih elementov. Po natančni analizi pa ugotovim, da je »na oko« presenetljivo dobro sledil odnosom zlatega reza. Tudi njegov tovariš Teo van Doesburg je v zelo podobnih kompozicijah sledil enekemu sorzmerju, le da je to počel zavestno; on je računal. Rezultati pa so res presenetljivo podobni.

Podobno Wolfgang Amadeus Mozart. Ekspozicija Simfonije v G molu je dolga 100 taktov. Najvišji ton G6 se pojavi v 62. taktu (62 : 38 = φ, 62 + 38 = 100). Najnižji ton se pojavi v 24. taktu (38 : 24 = φ, 38 + 24 = 62). Žal nisem našel podatkov, kako je simfonija nastala; ne vem, če je Mozart razmerja računal ali je zgolj sledil intuiciji. Toda največji sodobni skladatelj, vsaj po merilih večine antologij moderne glasbe, Karheinz Stockhausen svoje kompozicije ponavadi računa. V Klavierstücke III se poigrava s 55 toni v 34 različnih taktih (obe števili najdemo v prvem Fibonaccijevem zaporedju). V vsakem taktu je 50 poltonov razpona (3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 50; 3, 5, 8, 13, 21 so tudi števila prvega Fibonaccijevega zaporedja).

Zelo pogosto slišim, da umetnost ni matematika in da so taki in podobni primeri le slučaj. Toda psihologi so dokazali nasprotno. V enem od testov so narisali več pravokotnikov z različnimi razmerji stranic. Velika večina vprašanih (govori se dejansko o večini) je kot najbolj ugoden lik izbrala zlati pravokotnik. Torej verjetno smem zaključiti, da je matematika v tem primeru le orodje pri ustvarjanju, ki skrbi, da ostanem na varni strani, če se je držim. Pravim če, ker je izbira svobodna.

Slikar Paul Klee nekje trdi, da je večina problemov rešljivih po racionalni in intuitivni poti. Zelo malo pa je takih, ki so rešljivi le po eni sami od omenjenih poti.